17.선형변환

1.정의

수학 함수 τ(v) = τ(x, y, z) = (x', y', z')라고 가정해보자. 이 함수는 3차원 벡터 하나를 받아서 3차원 벡터를 산출하는데 이런 경우에만, τ를 가르켜 선형변환이라고 부른다.

또한 τ가 선변현환이면 다음을 만족한다.

 

 

2.행렬 표현

벡터 u = (x, y, z)가 있다고 생각해보자. 벡터를 다르게 표현해본다면

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)이고 x, y, z는 스칼라 값인건 쉽게 이해할 수 있다. 또한 i, j, k는 각각 x, y, z축의 단위 벡터들이고 이들을 R³에 대한 표준기저벡터(standard basis vector)라고 부른다. 지수는 차원의 수를 나타내며 2차원 공간의 표준 기저벡터는 R²로 나타낸다.

 

이제 벡터에 대해 선형변환을 한다고 하면 위의 식은 아래의 식이 성립된다.

여기서 생각을 좀 더 해보면 벡터를 행렬로 표현할 수 있다.

여기서 τ(i) = (A₁₁), A₁₂), A₁₃)), τ(j) = (A₂₁), A₂₂), A₂₃)), τ(k) = (A₃₁), A₃₂), A₃₃)이다. 이러한 행렬 A를 선형변환 τ의 행렬 표현이라고 한다.

 

 

3.비례(scaling)

비례는 물체의 크기를 바꾸는 효과를 나타낸다. 비례 변환은 아래와 같이 정의된다.

비례 변환에 의해 벡터는 현재 좌표계를 기준으로 하여 x축으로 s_x단위, y축으로 s_y단위, z축으로 s_z단위 만큼 비례된다. 알아야 할 것이 비례 변환 또한 선형변환이다.

위의 식으로 비례 변환은 하나의 선형변환이고, 행렬 표현이 가능하다는 결론으로 도달할 수 있다.

s의 행렬을 비례행렬(scaling matrix)라고 부른다.

s_x, s_y, s_z를 간단하게 s라고 치환했을 때 s > 1이라면 확대가 될 것이고, s < 1이라면 축소가 이뤄질 것이다.

 

 

4.회전(Rotate)

벡터 v를 축 n에 대해 각도 θ만큼 회전한다고 생각해보자. 벡터 v의 머리쪽에서 꼬리 쪽 방향으로 축 n을 바라보는 시점에서 시계방향으로 회전한다.

회전을 할 때 벡터 v를 두 벡터로 분해하고 생각해 보자.

1.축 n에 평행한 벡터 proj_n(v)

2.축 n에 수직인 벡터 v_⟂ = perp_n(v) = v - proj_n(v)

여기서 평행한 벡터 proj_n(v)은 회전해도변하지 않고, 수직인 부분을 회전하는 방법만 알면 된다.

회전은 Rotate이고 R로 표기하는데 R_n(v) = proj_n(v) + R_n(v_⟂)만 구할 수 있으면 된다.

R_n(v_⟂)을 먼저 구해보자.

1.v_⟂ - proj_n(v)의 값인 벡터 v_⟂를 구한다.

2.외적 n × v을 사용하여 v_⟂와 n에 수직인 벡터를 구한다. 왼손 엄지 법칙과 삼각함수 법칙에 따라 값 유도한다.

α는 축 n과 벡터 v 사이의 각도이다. v_⟂와 n × v의 크기가 같다. 벡터 두개가 마련되었으니 삼각함수 법칙에 의해 식을 유도할 수 있다.

이제 R_n(v)은 삼각함수에 의해 아래의 일반화 공식을 유도할 수 있다.

유도된 공식을 이용하여 하나의 행렬을 만들면

c는 cosθ이고 s는 sinθ이다. 위의 행렬은 xyz축 회전을 했을 경우이다.

 

만약 x, y, z축 각각 회전하는 경우를 생각해보자. x 축은 n = (1, 0, 0), y 축은 n = (0, 1, 0), z 축은 n = (0, 0, 1)이 되므로 위 공식에 대입하면 아래와 같은 일반화 공식이 나온다.