21.변환 행렬 대 좌표 변경 행렬

능동적 변환(비례, 회전, 이동)과 좌표 변경 변환은 수학적으로 동등하다(동치 관계). 능동적 변환을 좌표 변경 변환으로 해석이 가능하며, 그 역도 가능하다.

 

b = Q이고 τ(i) = u, τ(j) = v, τ(k) = w이다. 위 그림에서 (a)에서는 좌표계 B를 기준으로 아핀변환을 이용해 육면체의 위치와 방향을 변경한다. 즉, α(x, y, z, w) = xτ(i) + yτ(j) + zτ(k) + wb이다.

위 그림에서 (b)에서는 좌표계 A, B 두 개를 사용한다.  좌표계 A에 상대적인 육면체의 점들을 식으로 표현하면 p_{B = xuB + yvB + zwB + wQB} 이다.

 

좌표 변경 변환의 경우 좌표계들은 그 위치와 방향이 다르다. 따라서 한 좌표계에서 다른 좌표계로의 수학적 변환 공식에는 좌표들의 회전과 이동을 위한 부분들이 필요하다. 이런 부분들을 구하면 회전, 이동 변환과 동일한 형태의 공식에 도달한다. 어떤 경우에도 결국에는 같은 수치들을 만나게 된다. 차이는 변환을 해석하는 방법일 뿐이다.

여러 개의 좌표계들을 다루면서 물체 자체를 변경하지 않고 좌표계만 변환함으로써 물체의 좌표 표현이 바뀌게 하는것이 더 직관적인 상황도 있고(위 그림에서 (b)), 반대로 하나의 좌표계로 고정하고 그 좌표계 안에서 물체 자체를 변환하는 것이 더 직관적인 상황도 있다(위 그림에서 (a)).